Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{-x+2}{x \ln x}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a derivada de
f(x)=\frac{-x+2}{x\ln x},
para x>0 e x\neq1. O conteúdo principal é a regra do quociente e a derivada de \ln x.

Passo 2

Chamamos
u(x)=-x+2, \quad v(x)=x\ln x.
Então
u'(x)=-1, \quad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x=\ln x +1.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=(u'v-uv')/v^2, obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{(-1)\,(x\ln x)-(-x+2)\,(\ln x+1)}{\bigl(x\ln x\bigr)^2}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
-\,x\ln x + (x-2)\,(\ln x+1) =-\,x\ln x + x\ln x + x -2\ln x -2 = x -2(\ln x+1).
Assim
f'(x) =\frac{x -2(\ln x+1)}{\bigl(x\ln x\bigr)^2}.

Passo 5

Podemos escrever \bigl(x\ln x\bigr)^2=x^2(\ln x)^2. Logo a forma final é
f'(x) =\frac{x -2(\ln x+1)}{x^2(\ln x)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x -2(\ln x+1)}{x^2(\ln x)^2}.

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