Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}\,.
O conteúdo utilizado será a regra de derivação de funções potência, segundo a qual, se g(x)=x^{n}, então
g'(x)=n\,x^{n-1}\,.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) como potência de x. Sabemos que
\sqrt[4]{x^{3}}=(x^{3})^{\tfrac14}=x^{\tfrac34},
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f(x)=\frac{1}{x^{\tfrac34}}=x^{-\tfrac34}\,.

Passo 3

Aplicando a regra do poder a f(x)=x^{-\tfrac34} com n=-\tfrac34, temos
f'(x)=\Bigl(-\tfrac34\Bigr)\,x^{-\tfrac34-1} =\Bigl(-\tfrac34\Bigr)\,x^{-\tfrac74}\,.

Passo 4

Podemos reescrever x^{-\tfrac74} em forma de radical:
x^{-\tfrac74}=\frac{1}{x^{\tfrac74}} =\frac{1}{\sqrt[4]{x^{7}}}\,.
Assim,
f'(x)=-\frac{3}{4}\,x^{-\tfrac74} =-\frac{3}{4\,x^{\tfrac74}} =-\frac{3}{4\,\sqrt[4]{x^{7}}}\,.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{4}\,x^{-\tfrac74} \quad\text{ou}\quad f'(x)=-\frac{3}{4\,\sqrt[4]{x^{7}}}\,.

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