Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=5 \sqrt[3]{12 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=5\sqrt[3]{12x}.
O conteúdo principal que vamos usar é a regra da potência combinada com a regra da cadeia para diferenciar uma função composta.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência fica
f(x)=5\,(12x)^{\tfrac{1}{3}}.
Assim fica claro que podemos aplicar a regra da potência \frac{d}{dx}(u^n)=n\,u^{n-1}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) =5\;\frac{d}{dx}\bigl[(12x)^{\tfrac{1}{3}}\bigr] =5\cdot\tfrac{1}{3}\,(12x)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{d}{dx}(12x).
Aqui usamos que \frac{d}{dx}(12x)=12.

Passo 4

Agora simplificamos os fatores numéricos:
5\cdot\tfrac{1}{3}\cdot12 =5\cdot4 =20.
Logo
f'(x)=20\,(12x)^{-\tfrac{2}{3}}.
Uma forma equivalente é
f'(x) =\frac{20}{(12x)^{\tfrac{2}{3}}} =\frac{20}{\sqrt[3]{(12x)^2}}.

Resposta

f'(x)=20\,(12x)^{-\tfrac{2}{3}}.

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