Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
O conteúdo necessário é a regra do quociente, que vale para funções da forma \dfrac{u(x)}{v(x)}.

Passo 2

Vamos identificar as funções que compõem o quociente:
u(x)=x \qquad\text{e}\qquad v(x)=x^{2}+1.
As derivadas são
u'(x)=1 \qquad\text{e}\qquad v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, que diz
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}},
substituímos u, v, u' e v':
f'(x) =\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
Logo
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

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