Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{x} \cdot\left(x^{5}+x^{4}+3 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}\,\bigl(x^{5}+x^{4}+3x+2\bigr)
O conteúdo principal é a regra do produto e a regra do poder para derivadas. Vamos precisar de:
  1. Derivada de \sqrt{x}=x^{1/2}.
  2. Derivada do polinômio x^{5}+x^{4}+3x+2.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=x^{1/2} e v(x)=x^{5}+x^{4}+3x+2.

Passo 3

Calculamos cada derivada:
u'(x)=\bigl(x^{1/2}\bigr)'=\tfrac12\,x^{-1/2}=\frac1{2\sqrt{x}},
v'(x)=\bigl(x^{5}+x^{4}+3x+2\bigr)'=5x^{4}+4x^{3}+3.

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto, obtemos
f'(x) =\frac1{2\sqrt{x}}\,(x^{5}+x^{4}+3x+2) +\sqrt{x}\,(5x^{4}+4x^{3}+3).

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}. Note que
\sqrt{x}\,(5x^{4}+4x^{3}+3) =\frac{2x\,(5x^{4}+4x^{3}+3)}{2\sqrt{x}}.
Logo,
f'(x) =\frac{x^{5}+x^{4}+3x+2+2x(5x^{4}+4x^{3}+3)}{2\sqrt{x}} =\frac{11x^{5}+9x^{4}+9x+2}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}\,(x^{5}+x^{4}+3x+2) +\sqrt{x}\,(5x^{4}+4x^{3}+3) =\frac{11x^{5}+9x^{4}+9x+2}{2\sqrt{x}}.

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