Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{x^{2}+2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+2}{x-1}.
O conteúdo principal aqui é derivação de quociente, então vamos usar a regra do quociente para funções u(x) e v(x).

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador como
u(x)=x^{2}+2
e
v(x)=x-1.
Calculamos as derivadas de cada um:
\;u'(x)=2x
\;v'(x)=1.
A regra do quociente diz:
f'(x)=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Substituindo u, v, u' e v' na fórmula, obtemos
f'(x) =\frac{(x-1)\cdot 2x \;-\;(x^{2}+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(x-1)\cdot 2x = 2x^{2}-2x, \quad (2x^{2}-2x)\;-\;(x^{2}+2) =2x^{2}-2x-x^{2}-2 =x^{2}-2x-2.
Logo
f'(x) =\frac{x^{2}-2x-2}{(x-1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}-2x-2}{(x-1)^{2}}.

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