Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{x+1} \cdot \sqrt[3]{x-1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a derivada da função
f(x)=\sqrt{x+1}\,\sqrt[3]{x-1}.
O conteúdo da matéria envolve a regra do produto e a regra da cadeia (no caso, derivada de potência composta).

Passo 2

Reescrevemos f em forma de potências:
f(x)=(x+1)^{\tfrac12}\,(x-1)^{\tfrac13}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto. Definindo
u(x)=(x+1)^{\tfrac12}, \quad v(x)=(x-1)^{\tfrac13},
temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x) pela regra da potência e cadeia:
u'(x)=\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12}.

Passo 5

Calculamos v'(x) de forma análoga:
v'(x)=\tfrac13\,(x-1)^{-\tfrac23}.

Passo 6

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12}(x-1)^{\tfrac13} +\tfrac13\,(x+1)^{\tfrac12}(x-1)^{-\tfrac23}.

Passo 7

Para simplificar, fatoramos (x+1)^{-\tfrac12}(x-1)^{-\tfrac23}:
f'(x) =(x+1)^{-\tfrac12}(x-1)^{-\tfrac23} \Bigl[\tfrac12(x-1)+\tfrac13(x+1)\Bigr].
No colchete:
\tfrac12(x-1)+\tfrac13(x+1) =\frac{3(x-1)+2(x+1)}6 =\frac{5x-1}6.
Logo
f'(x) =\frac{5x-1}{6}\,(x+1)^{-\tfrac12}(x-1)^{-\tfrac23}.

Resposta

f'(x) =\frac{5x-1}{6\,\sqrt{x+1}\,\sqrt[3]{(x-1)^2}}.

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