Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{3}+x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{3}+x^{2}+1}.
O conteúdo é a regra do quociente, junto com regra da cadeia e regra do poder. Precisaremos:
– Reescrever \sqrt{x} como x^{1/2}.
– Identificar numerador u(x) e denominador v(x).
– Calcular u'(x) e v'(x).
– Aplicar a fórmula
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{\tfrac12},\quad v(x)=x^{3}+x^{2}+1.
Logo
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{1}{2}\,x^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad v'(x)=3x^{2}+2x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\,(x^{3}+x^{2}+1)\;-\;\sqrt{x}\,(3x^{2}+2x)}{(x^{3}+x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Para simplificar o numerador, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}:
\frac{x^{3}+x^{2}+1}{2\sqrt{x}} -\frac{2\sqrt{x}\,(3x^{2}+2x)}{2\sqrt{x}} =\frac{x^{3}+x^{2}+1 -2(3x^{2}+2x)\,x}{2\sqrt{x}} =\frac{x^{3}+x^{2}+1 -6x^{3}-4x^{2}}{2\sqrt{x}} =\frac{-5x^{3}-3x^{2}+1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
f'(x) =\frac{\displaystyle -5x^{3}-3x^{2}+1}{2\sqrt{x}\,(x^{3}+x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{-5x^{3}-3x^{2}+1}{2\sqrt{x}\,\bigl(x^{3}+x^{2}+1\bigr)^{2}}.

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