Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{-x+2}{x \ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{-x+2}{x\,\ln x}
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas e a derivada de \ln x. Vamos usar u(x)=-x+2 e v(x)=x\ln x e em seguida aplicar
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Calcular u'(x). Como u(x)=-x+2, sua derivada é
u'(x)=-1.

Passo 3

Calcular v'(x). Temos v(x)=x\ln x, produto de x por \ln x. Logo, usando a regra do produto:
v'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(-1)\,(x\ln x)-(-x+2)\,(\ln x+1)}{(x\ln x)^{2}}.

Passo 5

Simplificar o numerador. Desenvolvendo:
(-1)\,(x\ln x)-(-x+2)\,(\ln x+1) =-x\ln x + (x-2)(\ln x+1).
Expandindo:
-x\ln x + x\ln x + x -2\ln x -2 = x -2\ln x -2.

Passo 6

Escrever a forma simplificada da derivada:
f'(x) =\frac{x -2\ln x -2}{(x\ln x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x -2\ln x -2}{x^{2}(\ln x)^{2}}.

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