Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=e^{x}(\sqrt{x}+\operatorname{sec} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x}\bigl(\sqrt{x}+\operatorname{sec} x\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto para derivar e^x vezes \sqrt{x}+\operatorname{sec} x e, dentro disso, a regra da cadeia para \sqrt{x} e a derivada de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) = (e^x)'\,(\sqrt{x}+\operatorname{sec} x) + e^x\,(\sqrt{x}+\operatorname{sec} x)'.

Passo 3

Agora derivamos cada parte: (e^x)' = e^x.
Para \sqrt{x}=x^{1/2}, a regra da cadeia dá
(\sqrt{x})' = \frac12\,x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Para \operatorname{sec} x, a derivada é
(\operatorname{sec} x)' = \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Substituindo essas derivadas em f'(x), obtemos
f'(x) = e^x(\sqrt{x}+\operatorname{sec} x) + e^x\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \operatorname{sec} x\tan x\Bigr).

Resposta

f'(x) = e^x\Bigl(\sqrt{x} + \operatorname{sec} x + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \operatorname{sec} x\tan x\Bigr).

Exercícios relacionados