Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}.
Aqui vamos usar o conteúdo de derivada de função composta e a regra do poder, ou seja, se g(u)=u^{1/2} então
g'(u)=\frac12u^{-1/2}\,.

Passo 2

Reescrevemos cada raiz como potência:
\sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}, \qquad \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}.
Para cada termo aplicamos a regra do poder junto com a derivada da parte interna.

Passo 3

Derivando termo a termo, temos
\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{1/2}\bigr) =\frac12(x-1)^{-1/2}\cdot1 =\frac{1}{2\sqrt{x-1}},
\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{1/2}\bigr) =\frac12(x+1)^{-1/2}\cdot1 =\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Logo,
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x-1}} -\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 4

Para simplificar podemos colocar em denominar comum 2\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}:
f'(x) =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x-1}} -\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \quad\text{ou}\quad f'(x) =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}}.

Exercícios relacionados