Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=(\ln x+\sqrt{x})^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^{3}.
O conteúdo aqui é derivação de função composta (regra da cadeia) e as derivadas elementares de \ln x e de \sqrt{x}.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x) = \ln x + \sqrt{x}
e a função externa
h(u) = u^3.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Como h'(u)=3u^2, segue
h'\bigl(g(x)\bigr)=3\bigl(g(x)\bigr)^2 = 3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^2.

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Temos
(\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}},
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g'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
f'(x) = 3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^2 \Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).

Resposta

f'(x) = 3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^2\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).

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