Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+1}\,,
que envolve a regra do quociente. Para isso, vamos usar que a derivada de \ln x é 1/x e a derivada de x^{2}+1 é 2x.

Passo 2

Definimos
u(x)=\ln x, \quad v(x)=x^{2}+1.
Assim,
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=2x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)\;-\;u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u, u', v e v', vem
f'(x) =\frac{\frac{1}{x}\,(x^{2}+1)\;-\;\ln x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{\frac{x^{2}+1}{x}-2x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para simplificar o numerador, colocamos sobre o mesmo denominador x:
\frac{x^{2}+1}{x}-2x\ln x =\frac{x^{2}+1-2x^{2}\ln x}{x}.
Logo
f'(x) =\frac{x^{2}+1-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+1)^{2}}.

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