Questão 4 Considere a função f(x, y)=x y(5-2 x-y).
(a) Encontre os pontos críticos de f.
(b) Use o teste da segunda derivada para classificar o pontos críticos obtidos no item (a) em máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=x\,y\,(5-2x-y) e, em seguida, usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para decidir se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais primeiras de f. Primeiro expandimos
f(x,y)=5xy-2x^2y-xy^2.
Então
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} =5y -4x y -y^2, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} =5x -2x^2 -2x y.

Passo 3

Impondo \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0), resolvemos
5y -4x y -y^2=0, \qquad 5x -2x^2 -2x y=0.
Daí surgem as soluções: (x,y)=(0,0), (x,y)=(\tfrac{5}{2},0), (x,y)=(0,5) e (x,y)=(\tfrac{5}{4},\tfrac{5}{4}).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano:
f_{xx}=-4y, \quad f_{yy}=-2x, \quad f_{xy}=f_{yx}=5-4x-2y.
Definimos
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 5

Avaliando D e f_{xx} em cada ponto:
  1. Em (0,0): f_{xx}=0,\\ f_{yy}=0,\\ f_{xy}=5 D=0\cdot0-5^2=-25<0 ⇒ sela.
  2. Em (\tfrac{5}{2},0): f_{xx}=0,\\ f_{yy}=-5,\\ f_{xy}=-5 D=0\cdot(-5)-(-5)^2=-25<0 ⇒ sela.
  3. Em (0,5): f_{xx}=-20,\\ f_{yy}=0,\\ f_{xy}=-5 D=(-20)\cdot0-(-5)^2=-25<0 ⇒ sela.
  4. Em (\tfrac{5}{4},\tfrac{5}{4}): f_{xx}=-5,\\ f_{yy}=-\tfrac{5}{2},\\ f_{xy}=-\tfrac{5}{2}
D =(-5)\Bigl(-\tfrac{5}{2}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{5}{2}\Bigr)^2 =\tfrac{25}{2}-\tfrac{25}{4}=\tfrac{25}{4}>0
e f_{xx}=-5<0 ⇒ máximo local.

Resposta

(0,0): ponto de sela \bigl(\tfrac{5}{2},0\bigr): ponto de sela (0,5): ponto de sela \bigl(\tfrac{5}{4},\tfrac{5}{4}\bigr): máximo local

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