Questão 4 Considere a função
.
(a) Encontre os pontos críticos de
.
(b) Use o teste da segunda derivada para classificar o pontos críticos obtidos no item (a) em máximo local, mínimo local ou sela.
(a) Encontre os pontos críticos de
(b) Use o teste da segunda derivada para classificar o pontos críticos obtidos no item (a) em máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e, em seguida, usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para decidir se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais primeiras de
. Primeiro expandimos
Então
Passo 3
Impondo
, resolvemos
Daí surgem as soluções:
,
,
e
.
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano:
Definimos
Passo 5
Avaliando
e
em cada ponto:
-
Em
: ⇒ ⇒ sela. -
Em
: ⇒ ⇒ sela. -
Em
: ⇒ ⇒ sela. -
Em
: ⇒
e
⇒ máximo local.