Questão 1 Considere a função
.
(a) Esboce o domínio de
.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 2 de
é uma reta? Justifique sua resposta!
(c) Calcule as derivadas parciais de
.
(a) Esboce o domínio de
(b) É correto afirmar que a curva de nível 2 de
(c) Calcule as derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede:
– (a) esboçar o domínio de , ou seja, todos os pares
em que
está bem definida;
– (b) verificar se a curva de nível é uma reta e justificar;
– (c) calcular as derivadas parciais de .
Para isso vamos precisar saber onde o denominador se anula, como resolver equações de reta em
e aplicar as regras de derivação (produto/quotient rule).
– (a) esboçar o domínio de
– (b) verificar se a curva de nível
– (c) calcular as derivadas parciais de
Para isso vamos precisar saber onde o denominador
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de todos os pontos
tais que o denominador de
não seja zero. Logo, impomos
que equivale a
Portanto o domínio é
ou seja, o plano todo “cortado” pela reta vertical
. No esboço, desenhamos uma reta tracejada em
e sombreia-mos tanto a região
quanto a região
.
Passo 3
Para a curva de nível 2, igualamos
Multiplicando ambos os lados por
(que não é zero no domínio), obtemos
Isto é a equação de uma reta no plano. Observação: o ponto
satisfaz
mas não pertence ao domínio porque em
não está definida. Ainda assim, geometricamente tratamos a curva de nível como sendo a reta
, apenas sem o ponto
.
Passo 4
Para as derivadas parciais, escrevemos
– Derivada parcial em relação a
: aplicamos a regra da cadeia e o produto por constante
:
– Derivada parcial em relação a
: aqui
é constante e temos derivada de
multiplicado por
:
Resposta
(a) O domínio é
, isto é, o plano menos a reta vertical
.
(b) Sim. A curva de nível satisfaz
, que é a equação de uma reta (exceto pelo ponto
, pois ali
não existe).
(c)
(b) Sim. A curva de nível
(c)