Questão 1 Considere a função f(x, y)=\frac{y}{2 x-4}.
(a) Esboce o domínio de f.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 2 de f é uma reta? Justifique sua resposta!
(c) Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=\frac{y}{2x-4}
e pede:
– (a) esboçar o domínio de f, ou seja, todos os pares (x,y) em que f está bem definida;
– (b) verificar se a curva de nível f(x,y)=2 é uma reta e justificar;
– (c) calcular as derivadas parciais de f.
Para isso vamos precisar saber onde o denominador 2x-4 se anula, como resolver equações de reta em (x,y) e aplicar as regras de derivação (produto/quotient rule).

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que o denominador de \frac{y}{2x-4} não seja zero. Logo, impomos
2x-4 \neq 0
que equivale a x \neq 2. Portanto o domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 2\},
ou seja, o plano todo “cortado” pela reta vertical x=2. No esboço, desenhamos uma reta tracejada em x=2 e sombreia-mos tanto a região x<2 quanto a região x>2.

Passo 3

Para a curva de nível 2, igualamos
f(x,y)=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{2x-4}=2.
Multiplicando ambos os lados por 2x-4 (que não é zero no domínio), obtemos
y = 2\,(2x-4) = 4x - 8.
Isto é a equação de uma reta no plano. Observação: o ponto (2,0) satisfaz y=4x-8 mas não pertence ao domínio porque em x=2 f não está definida. Ainda assim, geometricamente tratamos a curva de nível como sendo a reta y=4x-8, apenas sem o ponto (2,0).

Passo 4

Para as derivadas parciais, escrevemos
f(x,y)=y\,(2x-4)^{-1}.
– Derivada parcial em relação a x: aplicamos a regra da cadeia e o produto por constante y:
\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \bigl(-1\bigr)\,(2x-4)^{-2}\cdot 2 = -\frac{2y}{(2x-4)^{2}}.
– Derivada parcial em relação a y: aqui x é constante e temos derivada de y multiplicado por (2x-4)^{-1}:
\frac{\partial f}{\partial y} = (2x-4)^{-1} = \frac{1}{2x-4}.

Resposta

(a) O domínio é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\neq2\}, isto é, o plano menos a reta vertical x=2.
(b) Sim. A curva de nível f(x,y)=2 satisfaz y=4x-8, que é a equação de uma reta (exceto pelo ponto (2,0), pois ali f não existe).
(c)
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2y}{(2x-4)^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2x-4}.

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