Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=e^{2 x} \ln \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{2x}\,\ln\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto (para derivar um produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar e^{2x} e \ln(x^{2})).

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que compõem o produto:
u(x)=e^{2x}, \quad v(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr).
Em seguida aplicaremos a regra do produto,
\bigl(u\,v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.

Passo 3

Derivada de u(x)=e^{2x}: use a regra da cadeia, pois há 2x no expoente.
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2\,e^{2x}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr): novamente regra da cadeia, com a função interna x^{2}.
v'(x) =\frac{(x^{2})'}{x^{2}} =\frac{2x}{x^{2}} =\frac{2}{x},
válido para x\neq0.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2\,e^{2x}\,\ln\bigl(x^{2}\bigr) +e^{2x}\,\frac{2}{x}.
Podemos fatorar 2\,e^{2x}:
f'(x) =2\,e^{2x}\!\Bigl(\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{1}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x) =2\,e^{2x}\!\Bigl(\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\tfrac{1}{x}\Bigr).

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