Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{1+3^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{3^{n}}{1+3^{2n}}.
Isso envolve testar convergência absoluta (usando, por exemplo, o teste da razão) ou convergência condicional (teste de Leibniz). Vamos primeiro analisar a convergência absoluta.

Passo 2

Seja
b_n = \biggl|\frac{3^{n}}{1+3^{2n}}\biggr| = \frac{3^{n}}{1+3^{2n}}.
Aplicamos o teste da razão para (b_n):
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\displaystyle\frac{3^{n+1}}{1+3^{2(n+1)}}} {\displaystyle\frac{3^{n}}{1+3^{2n}}} =3\;\frac{1+3^{2n}}{1+3^{2n}\cdot 3^{2}} =3\;\frac{1+3^{2n}}{1+9\,3^{2n}}.
Para n\to\infty, tanto 1 quanto 9 são desprezíveis ante 3^{2n}, então
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =3\;\frac{3^{2n}}{9\,3^{2n}} =\frac{3}{9} =\frac{1}{3}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série de termos b_n converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência simples. Não precisamos nem aplicar o teste de Leibniz: a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{1+3^{2n}}
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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