Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\left(x^{3}+\sqrt{x+1}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(x^{3}+\sqrt{x+1}\bigr)^{10}.
O conteúdo envolvido é a Regra da Cadeia, já que temos uma potência de uma função composta, e também a derivação de soma e de raiz quadrada.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna da composição:
u(x)=x^{3}+\sqrt{x+1}, \qquad f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{10}.

Passo 3

Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=10\bigl(u(x)\bigr)^{9}\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos a derivada de u(x). Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x+1}\bigr) =3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =10\bigl(x^{3}+\sqrt{x+1}\bigr)^{9}\!\Bigl(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\Bigr).

Resposta

f'(x) =10\bigl(x^{3}+\sqrt{x+1}\bigr)^{9}\!\Bigl(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\Bigr).

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