Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}.
Aqui usamos o conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia) e a derivada de potência.

Passo 2

Defina u(x)=x^{2}+x+1. Então
f(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac12\bigl(u(x)\bigr)^{-\tfrac12}\cdot u'(x).
Como
u'(x)=2x+1,
segue que
f'(x) =\frac12\,(x^{2}+x+1)^{-\tfrac12}\,(2x+1).

Resposta

f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}.

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