Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+x+1}. O conteúdo envolve a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de um polinômio.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{3}+x^{2}+x+1
e calculamos sua derivada
u'(x)=3x^{2}+2x+1.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/3}, temos
f'(x)=\frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\cdot u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão acima, obtemos
f'(x) =\frac{1}{3}(x^{3}+x^{2}+x+1)^{-2/3}\,(3x^{2}+2x+1) =\frac{3x^{2}+2x+1}{3\,(x^{3}+x^{2}+x+1)^{2/3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}+2x+1}{3\,(x^{3}+x^{2}+x+1)^{2/3}}.

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