Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
(c) f(x)=3^{2 x}+\log _{2}\left(4 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3^{2x}+\log_{2}\bigl(4x^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é a derivada de uma exponencial genérica a^{u(x)} e de um logaritmo na base 2, usando regra da cadeia e mudança de base.

Passo 2

Para derivar \;3^{2x}, usamos
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Aqui a=3 e u(x)=2x, logo u'(x)=2. Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(3^{2x}\bigr) =3^{2x}\ln(3)\cdot2 =2\ln(3)\,3^{2x}.

Passo 3

Para derivar \;\log_{2}\bigl(4x^{2}\bigr), usamos
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}(u(x))\bigr) =\frac{u'(x)}{u(x)\ln(a)}.
Aqui a=2 e u(x)=4x^{2}, logo u'(x)=8x. Assim,
\frac{d}{dx}\Bigl(\log_{2}(4x^{2})\Bigr) =\frac{8x}{4x^{2}\,\ln(2)} =\frac{8x}{4x^{2}\ln(2)} =\frac{2}{x\,\ln(2)}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =2\ln(3)\,3^{2x}+\frac{2}{x\,\ln(2)}.

Resposta

f'(x)=2\ln(3)\,3^{2x}+\frac{2}{x\,\ln(2)}.

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