(2 pontos) Uma esfera de volume V=\frac{4}{3} \pi r^{3} aumenta de modo que seu raio cresce a uma razão de 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 5 cm ?
Obs.: Pode deixar a resposta em função de \pi.

Passo 1

Temos uma esfera cujo volume é dado por
V = \frac{4}{3}\pi r^3,
e o raio varia no tempo. O conteúdo aqui é taxa de variação relacionada: queremos \tfrac{dV}{dt} sabendo \tfrac{dr}{dt}.

Passo 2

Para achar \tfrac{dV}{dt}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Calculamos \tfrac{dV}{dr} derivando V(r) em relação a r:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\Bigl(\frac{4}{3}\pi r^3\Bigr) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2.

Passo 4

Substituímos r=5\:\mathrm{cm} e \tfrac{dr}{dt}=10\:\mathrm{cm/s} na fórmula de \tfrac{dV}{dt}:
\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi \cdot (5)^2 \cdot 10 = 4\pi \cdot 25 \cdot 10 = 1000\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=1000\pi\:\mathrm{cm^3/s}.

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