Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
(d) f(x)=\tan ^{2}(5 x)

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de f(x)=\tan^{2}(5x). O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada a uma potência e a uma função trigonométrica. Em particular, temos a composição de três funções:
  1. x\mapsto 5x
  2. t\mapsto \tan t
  3. u\mapsto u^{2}

Passo 2

Definimos u=\tan(5x), então f(x)=u^{2}. Pela regra da potência,
f'(x)=2\,u\;\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora derivamos u=\tan(5x). Sabemos que \frac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2}t, logo pela regra da cadeia,
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}(5x)\,\frac{d}{dx}(5x)=5\,\operatorname{sec}^{2}(5x).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=2\,u\cdot\frac{du}{dx}, obtemos
f'(x)=2\,\tan(5x)\,\bigl(5\,\operatorname{sec}^{2}(5x)\bigr) =10\,\tan(5x)\,\operatorname{sec}^{2}(5x).

Resposta

f'(x)=10\,\tan(5x)\,\operatorname{sec}^{2}(5x).

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