Questão 2 (2,5 pontos) Derive a função.
y=tan (x1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = tan!gl(x1 - x^2gr)
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia para derivar tan(u(x)) e, dentro dela, usar a regra do quociente para derivar
u(x) = x1 - x^2

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em y = tan(u(x)), temos
y' = sec^2l(u(x)r),cdot u'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x) usando a regra do quociente em
u(x) = x1 - x^2
Seja v(x)=x e w(x)=1-x^2. Então
u'(x) = v'(x),w(x) - v(x),w'(x)l(w(x)r)^2 = 1cdot(1 - x^2) - xcdot(-2x)(1 - x^2)^2 = 1 - x^2 + 2x^2(1 - x^2)^2 = 1 + x^2(1 - x^2)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em
y' = sec^2l(u(x)r),u'(x),
ficamos com
y' = sec^2!gl(x1 - x^2gr);cdot;1 + x^2(1 - x^2)^2

Resposta

y' = sec^2!gl(x1 - x^2gr),1 + x^2(1 - x^2)^2

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