Determine a derivada implícita d yd x das seguintes equações:
y^5+x^2 y^3=1+y e^2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita y^5 + x^2 y^3 = 1 + y e^2x. Precisamos usar derivada implícita, aplicando regras de potência, produto e exponencial, para encontrar dydx.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x):
ddx(y^5)=5y^4,y',
ddx(x^2y^3)=2x,y^3+3x^2y^2,y',
ddx(1)=0, ddx(y e^2x)=y'e^2x+2y,e^2x

Passo 3

Reunindo os termos derivados:
5y^4y' + 2x y^3 + 3x^2y^2y' = y'e^2x + 2y,e^2x
Agora agrupamos os termos com y' de um lado:
(5y^4 + 3x^2y^2 - e^2x),y' = 2y,e^2x - 2x,y^3

Passo 4

Isolando y' e escrevendo de forma final:
y' = 2y,e^2x - 2x,y^35y^4 + 3x^2y^2 - e^2x

Resposta

dydx = 2y,e^2x - 2x,y^35y^4 + 3x^2y^2 - e^2x

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