Determine a derivada de ordem n de:
f(x)=log b(x), onde b>0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=logb(x),
onde b>0. O conteúdo aqui é derivação de logaritmo e reconhecimento do padrão de derivadas sucessivas de ln(x).

Passo 2

Usamos a mudança de base para escrever
f(x)=logb(x)=ln(x)ln(b)
Como ln(b) é constante, basta diferenciar ln(x) e dividir o resultado por ln(b).

Passo 3

Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
f'(x)=1ln(b)cdotddxln(x) =1ln(b)cdot1x =1x,ln(b),
f''(x)=ddx!l(1x,ln(b)r) =1ln(b)cdot(-1)x^-2 =-1x^2,ln(b)
Observamos sinais alternados e fatoriais crescendo quando continuamos as derivadas.

Passo 4

Sabe-se (por indução) que para n>=1
d^,ndx^nln(x) =(-1)^n-1(n-1)!,x^-n
Logo, aplicando essa fórmula em f(x)=tfrac1ln(b)ln(x), obtemos
f^(n)(x) =1ln(b)cdot(-1)^n-1(n-1)!,x^-n =(-1)^n-1(n-1)!x^n,ln(b)

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!x^n,ln(b)

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