Determine a derivada de ordem
de:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
onde
. O conteúdo aqui é derivação de logaritmo e reconhecimento do padrão de derivadas sucessivas de
.
Passo 2
Usamos a mudança de base para escrever
Como
é constante, basta diferenciar
e dividir o resultado por
.
Passo 3
Calculamos as primeiras derivadas para identificar o padrão:
Observamos sinais alternados e fatoriais crescendo quando continuamos as derivadas.
Passo 4
Sabe-se (por indução) que para
Logo, aplicando essa fórmula em
, obtemos