Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y se
(x+y+z)^2=x y+x z+y z

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
(x + y + z)^2 ;=; x,y ;+; x,z ;+; y,z
e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Vamos tratar z como função de x e y, z = z(x,y), e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
– Lado esquerdo:
partialpartial xl((x+y+z)^2r) = 2,(x+y+z),partialpartial x(x+y+z) = 2,(x+y+z),(1 + zx)
– Lado direito:
partialpartial x(x,y) = y,
partialpartial x(x,z) = z + x,zx,
partialpartial x(y,z) = y,zx
Portanto,
2,(x+y+z),(1 + zx) ;=; y ;+; z ;+; x,zx ;+; y,zx

Passo 3

Isolando zx:
2(x+y+z) + 2(x+y+z),zx = y + z + (x+y),zx
l[2(x+y+z) - (x+y)r],zx = y + z - 2(x+y+z) = -2x - y - z
zx = -2x - y - z,2(x+y+z) - (x+y), = -2x - y - z,x + y + 2z,

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a y:
– Lado esquerdo:
partialpartial yl((x+y+z)^2r) = 2,(x+y+z),partialpartial y(x+y+z) = 2,(x+y+z),(1 + zy)
– Lado direito:
partialpartial y(x,y) = x,
partialpartial y(x,z) = x,zy,
partialpartial y(y,z) = z + y,zy
Logo,
2,(x+y+z),(1 + zy) ;=; x ;+; z ;+; x,zy ;+; y,zy

Passo 5

Isolando zy:
2(x+y+z) + 2(x+y+z),zy = x + z + (x+y),zy
l[2(x+y+z) - (x+y)r],zy = x + z - 2(x+y+z) = -x - 2y - z
zy = -x - 2y - z,2(x+y+z) - (x+y), = -x - 2y - z,x + y + 2z,

Resposta

partial zpartial x = -2x - y - z,x + y + 2z,, partial zpartial y = -x - 2y - z,x + y + 2z,

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