Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
z=cos x y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z = cos(xy)
e, a partir delas, montar o vetor gradiente nabla z. Vamos usar regra da cadeia em funções compostas e a definição de gradiente.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y) = xy,
de modo que z = cos(u). Para obter dfracpartial zpartial x, aplicamos a regra da cadeia: derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) e depois multiplicamos por dfracpartial upartial x. Como
dfracpartial upartial x = y,
temos
dfracpartial zpartial x = -sinl(ur)cdot y = -y,sin(xy)

Passo 3

Para dfracpartial zpartial y fazemos o mesmo raciocínio: a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) e multiplicamos por dfracpartial upartial y. Como
dfracpartial upartial y = x,
obtemos
dfracpartial zpartial y = -sinl(ur)cdot x = -x,sin(xy)

Passo 4

O vetor gradiente é definido como
nabla z = gl(dfracpartial zpartial x,;dfracpartial zpartial ygr)
Substituindo as derivadas parciais já calculadas, fica
nabla z = l(-y,sin(xy),;-x,sin(xy)r)

Resposta

partial zpartial x = -y,sin(xy)
partial zpartial y = -x,sin(xy)
nabla z = l(-y,sin(xy),,-x,sin(xy)r)

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