Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
e, a partir delas, montar o vetor gradiente
. Vamos usar regra da cadeia em funções compostas e a definição de gradiente.
Passo 2
Definimos a função interna
de modo que
. Para obter
, aplicamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
e depois multiplicamos por
. Como
temos
Passo 3
Para
fazemos o mesmo raciocínio: a derivada de
em relação a
é
e multiplicamos por
. Como
obtemos
Passo 4
O vetor gradiente é definido como
Substituindo as derivadas parciais já calculadas, fica