Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
f(x, y)=e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=e^-x^2-y^2 e montar o vetor gradiente. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia, pois temos uma composição de exponencial com o polinômio -x^2-y^2.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, note que f(x,y)=e^u(x,y) com u(x,y)=-x^2-y^2. Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial x = e^u(x,y)cdotpartial upartial x = e^-x^2-y^2cdot(-2x) = -2x,e^-x^2-y^2

Passo 3

De modo análogo, para partial fpartial y usamos a mesma u(x,y):
partial fpartial y = e^u(x,y)cdotpartial upartial y = e^-x^2-y^2cdot(-2y) = -2y,e^-x^2-y^2

Passo 4

O vetor gradiente de f é dado por
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(-2x,e^-x^2-y^2,,-2y,e^-x^2-y^2r)

Resposta

partial fpartial x=-2x,e^-x^2-y^2, partial fpartial y=-2y,e^-x^2-y^2, nabla f(x,y)=l(-2x,e^-x^2-y^2,,-2y,e^-x^2-y^2r)

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