Seja f a função periódica de período 2 pi definida por:
f(x)=rr 0, & -pi <= x<0 sen x, & 0 <= x<pi
Como em (b), calcule sumn=1^infty(an^2+bn^2).

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
e pede
onde (a_n,b_n] são os coeficientes de Fourier. Para isso, vamos usar o Teorema de Parseval para séries de Fourier, que diz

Passo 2

Calculamos primeiro o coeficiente a0:
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =1piintegral0^pisin x,dx =1pil[-cos xr]0^pi =1pil(-cospi+cos0r) =2pi

Passo 3

Agora a integral de f^2:
integral-pi^pil[f(x)r]^2,dx =integral0^pisin^2x,dx =pi2,
pois integral0^pisin^2x,dx=pi/2.

Passo 4

Substituindo em Parseval,
a0^22+sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r) =1picdotpi2 =12
Como a0=2/pi, temos
sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r) =12-a0^22 =12-12l(2pir)^2 =12-2pi^2 =pi^2-42pi^2

Resposta

sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r) =pi^2-42pi^2

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