Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
z=x^2 ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = x^2lnl(1 + x^2 + y^2r)
em relação a x e y, e depois o vetor gradiente
nabla z = l(tfracpartial zpartial x,,tfracpartial zpartial yr).
Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de partial zpartial x.
Escrevemos z = x^2,ln(u) com u = 1 + x^2 + y^2. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
partial zpartial x = d(x^2)dx,ln(u) + x^2,1u,partial upartial x = 2x,ln(u) + x^2,11 + x^2 + y^2cdot 2x
Como u = 1 + x^2 + y^2, fica
partial zpartial x = 2x,lnl(1 + x^2 + y^2r) + 2x^31 + x^2 + y^2

Passo 3

Cálculo de partial zpartial y.
Agora x^2 é constante e só diferenciamos ln(u) em relação a y:
partial zpartial y = x^2,1u,partial upartial y = x^2,11 + x^2 + y^2cdot 2y = 2x^2y1 + x^2 + y^2

Passo 4

Formamos o vetor gradiente reunindo as duas derivadas:
nabla z = l(partial zpartial x,,partial zpartial yr) = gl( 2x,lnl(1 + x^2 + y^2r) + 2x^31 + x^2 + y^2,; 2x^2y1 + x^2 + y^2 gr)

Resposta

partial zpartial x = 2x,lnl(1 + x^2 + y^2r) + 2x^31 + x^2 + y^2,
partial zpartial y = 2x^2y1 + x^2 + y^2,
nabla z = l( 2x,ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2,, 2x^2y1 + x^2 + y^2 r)

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