Determine a derivada da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar exponenciais, funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico (
) e radicais, além de lidar com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Basicamente, quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra, a derivada dela é a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
No nosso caso, temos três camadas de funções:
- A função exponencial:
- A função cosseno hiperbólico:
- A função raiz quadrada com potência:
Vamos começar diferenciando a função exponencial em relação ao que está dentro dela.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é:
Aqui,
. Então, agora precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
, onde
. A derivada do cosseno hiperbólico é:
Portanto, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos derivar
. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Aplicando a regra da potência, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como 4 é constante, sua derivada é zero, e a derivada de
é:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Agora, voltando para a derivada de
:
Passo 9
Finalmente, substituindo
na derivada da função exponencial:
Resposta
A derivada da função é: