Determine a derivada da seguinte função:
f(x)=exp (cosh (raiz x^z+4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função:
f(x) = exp(cosh(raizx^z + 4))
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar exponenciais, funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico ( cosh) e radicais, além de lidar com potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Basicamente, quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra, a derivada dela é a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
No nosso caso, temos três camadas de funções:
  1. A função exponencial: exp(u)
  2. A função cosseno hiperbólico: cosh(v)
  3. A função raiz quadrada com potência: raizx^z + 4
Vamos começar diferenciando a função exponencial em relação ao que está dentro dela.

Passo 3

A derivada de exp(u) em relação a x é:
ddx exp(u) = exp(u) cdot dudx
Aqui, u = cosh(raizx^z + 4). Então, agora precisamos encontrar a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Agora, vamos derivar u = cosh(v), onde v = raizx^z + 4. A derivada do cosseno hiperbólico é:
ddx cosh(v) = sinh(v) cdot dvdx
Portanto, precisamos encontrar a derivada de v em relação a x.

Passo 5

Vamos derivar v = raizx^z + 4. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
v = (x^z + 4)^12
Aplicando a regra da potência, a derivada de v em relação a x é:
dvdx = 12(x^z + 4)^-12 cdot ddx(x^z + 4)

Passo 6

Agora, vamos derivar x^z + 4 em relação a x. Como 4 é constante, sua derivada é zero, e a derivada de x^z é:
ddx x^z = z x^z - 1
Então,
ddx(x^z + 4) = z x^z - 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para dvdx:
dvdx = 12(x^z + 4)^-12 cdot z x^z - 1 = z x^z - 12 raizx^z + 4

Passo 8

Agora, voltando para a derivada de u = cosh(v):
dudx = sinh(v) cdot dvdx = sinh(raizx^z + 4) cdot z x^z - 12 raizx^z + 4

Passo 9

Finalmente, substituindo dudx na derivada da função exponencial:
ddx f(x) = exp(cosh(raizx^z + 4)) cdot sinh(raizx^z + 4) cdot z x^z - 12 raizx^z + 4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = exp(cosh(raizx^z + 4)) cdot sinh(raizx^z + 4) cdot z x^z - 12 raizx^z + 4

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