Determine a inversa da seguinte função hiperbólica:
y=cosh (x)

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de y=cosh(x). Aqui o conteúdo é resolução algébrica: vamos usar a definição
cosh(x)=e^x + e^-x2
e resolver para x em função de y. Note que cosh é bijetora se restringida ao domínio x>=0 e sua imagem é [1,infty).

Passo 2

Partimos de
y = e^x + e^-x2
multiplicamos ambos os lados por 2 e depois por e^x:
2y = e^x + e^-x Longrightarrow 2y,e^x = e^2x + 1
Definindo t = e^x, isso vira uma equação quadrática:

Passo 3

Em termos de t temos
t^2 - 2y,t + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
t = 2y pm raiz(2y)^2 - 4cdot1cdot12 = y pm raizy^2 - 1

Passo 4

Como t = e^x>0, escolhemos
t = y + raizy^2 - 1
Então
e^x = y + raizy^2 - 1 Longrightarrow x = lnl(y + raizy^2 - 1r)

Passo 5

Concluímos que a inversa de cosh é a função conhecida como arccosh, definida para y>=1:
arccosh(y) = lnl(y + raizy^2 - 1r)

Resposta

cosh^-1(y) = lnl(y + raizy^2 - 1r), y >= 1

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