Determine a derivada da seguinte função:
f(x)=coth(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=coth(x). O tema é derivação de funções hiperbólicas e vamos precisar usar a definição de coth(x) em termos de sinh(x) e cosh(x), além da regra do quociente e da identidade hiperbólica cosh^2(x)-sinh^2(x)=1.

Passo 2

Escrevemos coth(x) como quociente:
f(x)=cosh(x)sinh(x)
Para derivar, usamos a regra do quociente: se u=cosh(x) e v=sinh(x), então
l(tfracuvr)'=u'v - uv'v^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u=cosh(x), u'=sinh(x); v=sinh(x), v'=cosh(x)
Substituindo na regra do quociente resulta:
f'(x)=sinh(x)cdotsinh(x) - cosh(x)cdotcosh(x)sinh^2(x)

Passo 4

No numerador temos:
sinh^2(x) - cosh^2(x)
Usando a identidade hiperbólica cosh^2(x)-sinh^2(x)=1, vemos que
sinh^2(x)-cosh^2(x)=-1
Então
f'(x)=-1sinh^2(x)

Passo 5

Reconhecendo que csch(x)=1/sinh(x), podemos escrever a derivada como:
f'(x)=-csch^2(x)

Resposta

f'(x)=-csch^2(x)

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