Use as propriedades logarítmicas para calcular a derivada das seguintes funções.
y=x^tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y = x^{\tan x} usando diferenciação logarítmica, pois tanto a base quanto o expoente dependem de x.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a expressão:
ln y = lnl(x^tan xr) = tan x cdot ln x

Passo 3

Agora, derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo:
ddxln y = y'y
No lado direito usamos a regra do produto:
ddxl(tan x ln xr) = underbraceddxtan xsec^2 x,ln x + tan xunderbraceddxln x1/x = sec^2 xln x + tan xx

Passo 4

Isolamos y’ e voltamos à função original y = x^{\tan x}:
y' = yl(sec^2 xln x + tfractan xxr) = x^tan xl(sec^2 xln x + tfractan xxr)

Resposta

y’ = x^{\tan x}\bigl(\sec^2 x\ln x + \tfrac{\tan x}{x}\bigr)

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