Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
F(t)=\ln (t) i+t j+t k.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função vetorial
F(t)=\ln(t)\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}
e queremos F'(t). Para isso vamos usar a regra de derivação componente a componente, sabendo que \frac{d}{dt}\ln(t)=1/t e \frac{d}{dt}t=1.

Passo 2

Derivada da componente na direção de \mathbf{i}:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln(t)\bigr)=\frac{1}{t}.

Passo 3

Derivada das componentes nas direções de \mathbf{j} e \mathbf{k}: como ambas são iguais a t, temos
\frac{d}{dt}(t)=1
para cada uma delas.

Passo 4

Juntando os resultados em cada direção, obtemos
F'(t)=\frac{1}{t}\,\mathbf{i}+1\cdot\mathbf{j}+1\cdot\mathbf{k}.

Resposta

F'(t)=\frac{1}{t}\,\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.

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