Determine os seguintes limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,-1)} \sqrt{2-x^{2}-y^{2}} i+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} j

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial \displaystyle \mathbf{f}(x,y)=\sqrt{2 - x^2 - y^2}\,\mathbf{i}+\sqrt{1 - x^2 - y^2}\,\mathbf{j}
quando (x,y)\to(0,-1). O conteúdo é cálculo de limite de função vetorial de duas variáveis, e usaremos o fato de que cada componente é contínua em seu domínio.

Passo 2

Para que as raízes existam, precisamos de
2 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad\text{e}\quad 1 - x^2 - y^2 \ge 0.
No ponto (0,-1) temos 0^2+(-1)^2=1, logo
2 - 1 = 1\ge0, \quad 1 - 1 = 0\ge0.
Como cada função \sqrt{\cdot} é contínua em valores não negativos, \mathbf{f} é contínua em (0,-1).

Passo 3

Pela continuidade, o limite é dado pela substituição direta em cada componente:
\sqrt{2 - 0^2 - (-1)^2} = \sqrt{1} = 1,
\sqrt{1 - 0^2 - (-1)^2} = \sqrt{0} = 0.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,-1)}\mathbf{f}(x,y) =1\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j} =\mathbf{i}.

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