Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
F(t)=\operatorname{sen}(t) \cos (t) i+e^{-2 t} j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
F(t)=\sin(t)\cos(t)\,\mathbf{i}+e^{-2t}\,\mathbf{j}.
Para resolver vamos derivar cada componente separadamente, usando a regra do produto na componente em \mathbf{i} e a regra da cadeia na componente em \mathbf{j}.

Passo 2

Seja x(t)=\sin(t)\cos(t). Aplicando a regra do produto:
x'(t)=\frac{d}{dt}[\sin(t)]\cdot\cos(t)+\sin(t)\cdot\frac{d}{dt}[\cos(t)] =\cos(t)\cos(t)+\sin(t)\bigl(-\sin(t)\bigr) =\cos^2(t)-\sin^2(t).

Passo 3

Reconhecendo a identidade trigonométrica
\cos^2(t)-\sin^2(t)=\cos(2t),
concluímos que
x'(t)=\cos(2t).

Passo 4

Seja y(t)=e^{-2t}. Pela regra da cadeia:
y'(t)=-2\,e^{-2t}.

Passo 5

Juntando as duas componentes, a derivada de F é
F'(t)=\cos(2t)\,\mathbf{i}-2\,e^{-2t}\,\mathbf{j}.

Resposta

F'(t)=\cos(2t)\,\mathbf{i}-2\,e^{-2t}\,\mathbf{j}.

Exercícios relacionados