Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\ln \left(1-x^{2}\right), 0 \leq x \leq \frac{1}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva
y = \ln\bigl(1 - x^2\bigr)
no intervalo de 0 até \tfrac{1}{7}. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco, que requer a derivada de y e a integral de
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y' = \frac{d}{dx}\ln\bigl(1 - x^2\bigr) = \frac{1}{1 - x^2}\cdot(-2x) = -\frac{2x}{1 - x^2}\,.

Passo 3

Montamos o integrando da fórmula de comprimento de arco:
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2} = \sqrt{1 + \frac{4x^2}{\bigl(1 - x^2\bigr)^2}} = \sqrt{\frac{\bigl(1 - x^2\bigr)^2 + 4x^2}{\bigl(1 - x^2\bigr)^2}} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}\,.
Logo, o comprimento L é
L = \int_{0}^{\tfrac{1}{7}} \frac{1 + x^2}{1 - x^2}\,dx\,.

Passo 4

Para integrar
\frac{1 + x^2}{1 - x^2}
fazemos a divisão
\frac{1 + x^2}{1 - x^2} = 1 + \frac{2x^2}{1 - x^2} = 1 + 2\Bigl(-1 + \frac{1}{1 - x^2}\Bigr) = -1 + \frac{2}{1 - x^2}\,.

Passo 5

Assim
L = \int_{0}^{\tfrac{1}{7}}\!\Bigl(-1 + \frac{2}{1 - x^2}\Bigr)\,dx = \int_{0}^{\tfrac{1}{7}}\!(-1)\,dx + 2\int_{0}^{\tfrac{1}{7}}\!\frac{dx}{1 - x^2}\,.
Sabendo que
\int \frac{dx}{1 - x^2} = \operatorname{arctanh}(x),
temos
L = \Bigl[-x\Bigr]_{0}^{\tfrac{1}{7}} + 2\Bigl[\operatorname{arctanh}(x)\Bigr]_{0}^{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{7} + 2\,\operatorname{arctanh}\Bigl(\frac{1}{7}\Bigr)\,.

Passo 6

Transformando \operatorname{arctanh} em logaritmo:
2\,\operatorname{arctanh}\Bigl(\tfrac{1}{7}\Bigr) = \ln\!\biggl(\frac{1 + \tfrac{1}{7}}{1 - \tfrac{1}{7}}\biggr) = \ln\!\bigl(\tfrac{8/7}{6/7}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Logo
L = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) - \tfrac{1}{7}\,.

Resposta

L = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) - \tfrac{1}{7}.

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