Determine a derivada das seguintes funções:
y=(1+\sqrt{x})\left(x-x^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
y = (1 + \sqrt{x})\,(x - x^3).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra do poder (potência).

Passo 2

Definimos
f(x) = 1 + x^{1/2}, \quad g(x) = x - x^3.
Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Usando a regra do poder para cada parte:
f'(x) = \tfrac12\,x^{-1/2}, \qquad g'(x) = 1 - 3x^2.

Passo 4

Substituindo em y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) e simplificando:
f'(x)\,g(x) = \tfrac12\,x^{-1/2}\,(x - x^3) = \tfrac12\bigl(x^{1/2} - x^{5/2}\bigr),
f(x)\,g'(x) = (1 + x^{1/2})\,(1 - 3x^2) = 1 - 3x^2 + x^{1/2} - 3x^{5/2}.
Somando as duas parcelas:
y' = \tfrac12\,x^{1/2} - \tfrac12\,x^{5/2} + 1 - 3x^2 + x^{1/2} - 3x^{5/2} = 1 + \tfrac32\,x^{1/2} - 3x^2 - \tfrac72\,x^{5/2}.

Resposta

y' = 1 + \tfrac32\,x^{1/2} - 3x^2 - \tfrac72\,x^{5/2}.

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