Verifique se as funções são linearmente dependentes?
1, \sin ^{2} x, \cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções \;f_{1}(x)=1,\quad f_{2}(x)=\sin^2x,\quad f_{3}(x)=\cos2x
são linearmente dependentes. Isso significa checar se existe uma combinação linear não trivial
a\,f_{1}(x)+b\,f_{2}(x)+c\,f_{3}(x)\equiv0
para todo x, com (a,b,c)\neq(0,0,0).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo para seno ao quadrado:
\sin^2x = \frac{1 - \cos2x}{2}.

Passo 3

Reescrevendo essa identidade obtemos
2\,\sin^2x = 1 - \cos2x \quad\Longrightarrow\quad 2\,\sin^2x - 1 + \cos2x = 0.
Isto é uma combinação linear não trivial:
(-1)\cdot1 \;+\; 2\cdot\sin^2x \;+\; 1\cdot\cos2x \;\equiv\;0.

Resposta

As funções são linearmente dependentes, pois satisfazem
-1\cdot1 \;+\;2\cdot\sin^2x \;+\;1\cdot\cos2x \;=\;0
para todo x.

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