Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-y=2 e^{x}-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
y'' - y = 2e^x - x^2
Esse é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos buscar a solução geral na forma
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h resolve a equação homogênea y'' - y = 0 e y_p é uma solução particular de y'' - y = 2e^x - x^2.

Passo 2

Para encontrar y_h montamos a equação característica
r^2 - 1 = 0
cuja solução é r = \pm 1. Logo a parte homogênea é
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo 2e^x. Como e^x é solução da homogênea, usamos o ansatz
y_{p1}(x) = A x e^x.
Calculando as derivadas:
y_{p1}' = A e^x(x+1), \quad y_{p1}'' = A e^x(x+2).
Substituindo em y''-y:
y_{p1}'' - y_{p1} = A e^x(x+2) - A x e^x = 2A e^x
Para isso valer 2e^x precisamos de 2A e^x = 2e^x, ou seja A=1. Portanto
y_{p1}(x) = x e^x.

Passo 4

Agora buscamos y_{p2} para o termo -x^2. Fazemos o ansatz polinomial
y_{p2}(x) = a x^2 + b x + c.
Então
y_{p2}'' = 2a,
e
y_{p2}'' - y_{p2} = 2a - (a x^2 + b x + c) = -a x^2 - b x + (2a - c).
Queremos isso igual a -x^2, daí
-a = -1,\quad -b = 0,\quad 2a - c = 0
resultando em a=1, b=0, c=2. Logo
y_{p2}(x) = x^2 + 2.

Passo 5

A solução particular completa é
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = x e^x + x^2 + 2.
Logo a solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + x e^x + x^2 + 2.

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + x e^x + x^2 + 2.

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