Determine a derivada das seguintes funções:
y=x^{3} \cdot \operatorname{sen} x-5 \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y = x^{3}\cdot \operatorname{sen} x - 5\cos x.
Informações dadas:
  • A função é a diferença de dois termos: um produto x^{3}\cdot \operatorname{sen} x e um múltiplo de \cos x.
  • Substituo a notação portuguesa \operatorname{sen} x pela notação usual em LaTeX \sin x para escrever as derivadas corretamente: a função fica
y = x^{3}\sin x - 5\cos x.
O que se pede: calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma/lineariadade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se y = f(x)+g(x) então y' = f'(x)+g'(x).
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se y = c\cdot f(x) então y' = c\cdot f'(x).
  • Regra do produto: se y = u(x)\cdot v(x) então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando: a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Regras básicas de derivadas que usaremos:
    • Regra da potência (para polinômios): se u(x)=x^{n} então u'(x)=n x^{n-1}. Aqui n é um número (por exemplo n=3).
    • Derivada do seno: \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
    • Derivada do cosseno: \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso y.

Passo 3

Diferencio termo a termo. Primeiro, derive o produto x^{3}\sin x.
  • Defino u(x)=x^{3} e v(x)=\sin x.
  • Calculo u'(x) pela regra da potência:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
  • Calculo v'(x) pela regra do seno:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
  • Aplico a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\sin x\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x.

Passo 4

Agora derivo o segundo termo -5\cos x.
  • Uso a regra do fator constante: -5 é constante, então a derivada é -5 vezes a derivada de \cos x.
  • Derivada de \cos x é -\sin x. Portanto:
\frac{d}{dx}\big(-5\cos x\big) = -5\cdot\big(-\sin x\big) = 5\sin x.
Expliquei: o sinal negativo do \cos vira negativo ao derivar, e o negativo já existente na frente faz com que o resultado fique positivo.

Passo 5

Agora junto os resultados dos passos anteriores, usando linearidade (derivada da soma):
y' = \frac{d}{dx}\big(x^{3}\sin x\big) + \frac{d}{dx}\big(-5\cos x\big) = \big(3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x\big) + 5\sin x.
Agrupando termos semelhantes (opcional), podemos escrever de forma mais compacta:
y' = (3x^{2}+5)\sin x + x^{3}\cos x.

Resposta

y'=(3x^{2}+5)\sin x + x^{3}\cos x

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