Determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a diferença de dois termos: um produto
e um múltiplo de . - Substituo a notação portuguesa
pela notação usual em LaTeX para escrever as derivadas corretamente: a função fica
O que se pede: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma/lineariadade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se
então . - Regra do produto: se
então
Explicando: a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regras básicas de derivadas que usaremos:
- Regra da potência (para polinômios): se
então . Aqui é um número (por exemplo ). - Derivada do seno:
. - Derivada do cosseno:
.
- Regra da potência (para polinômios): se
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso
.
Passo 3
Diferencio termo a termo. Primeiro, derive o produto
.
- Defino
e . - Calculo
pela regra da potência:
- Calculo
pela regra do seno:
- Aplico a regra do produto:
Passo 4
Agora derivo o segundo termo
.
- Uso a regra do fator constante:
é constante, então a derivada é vezes a derivada de . - Derivada de
é . Portanto:
Expliquei: o sinal negativo do
vira negativo ao derivar, e o negativo já existente na frente faz com que o resultado fique positivo.
Passo 5
Agora junto os resultados dos passos anteriores, usando linearidade (derivada da soma):
Agrupando termos semelhantes (opcional), podemos escrever de forma mais compacta: