Encontre
usando as regras de derivação para:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar (a derivada de
em relação a
). Informações relevantes extraídas do enunciado:
e pede para encontrar
- A função é soma de três termos:
, e . - O termo
só está definido para ; portanto a função (e sua derivada) fazem sentido para . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas dos termos (linearidade da derivada).
Passo 2
Vou listar as regras de derivação que vou usar (explicando cada uma de forma direta):
- Regra da linearidade / soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante (constante multiplicativa): a derivada de
, onde é constante, é . - Derivada da exponencial natural: a derivada de
é . Aqui é a base do logaritmo natural, uma constante fixa (aprox. ). - Derivada do logaritmo natural: a derivada de
é , válida para . - Derivada de constante: a derivada de uma constante (por exemplo
) é .
Explicando cada fórmula rápida e amigavelmente:
- Quando eu digo que
, é porque a constante sai da operação de derivar (ela apenas escala a inclinação). - A razão de
é particular: a função exponencial cresce à mesma taxa que seu próprio valor. - A razão de
vem da definição inversa entre exponencial e logaritmo; intuitivamente, o log cresce devagar quando aumenta e sua inclinação é justamente .
Passo 3
Derivo termo a termo usando as regras acima. Primeiro, o termo
.
- Aplicando a regra do fator constante com
e , e sabendo que , obtemos:
Passo 4
Agora o termo
.
- Aplicando a regra do fator constante com
e , e sabendo que (para ), obtemos:
Passo 5
Por fim, o termo constante
.
- A derivada de uma constante é zero, então
Passo 6
Agora somo as derivadas dos três termos (regra da linearidade):
Simplificando:
Passo 7
Observação final e dica para a prova:
- Lembre que a expressão
exige e, como a função original tinha , o domínio relevante é . Então a derivada vale para . - Estratégia rápida em prova: derive termo a termo, puxe constantes para fora, use
e . Fácil de decorar e aplicar.