Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=3 e^{x}+8 \cdot \ln x-1

Passo 1

O enunciado dá a função
y=3 e^{x}+8 \cdot \ln x-1
e pede para encontrar y' (a derivada de y em relação a x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é soma de três termos: 3 e^{x}, 8\ln x e -1.
  • O termo \ln x só está definido para x>0; portanto a função (e sua derivada) fazem sentido para x>0.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas dos termos (linearidade da derivada).

Passo 2

Vou listar as regras de derivação que vou usar (explicando cada uma de forma direta):
  • Regra da linearidade / soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se y=u+v+w então y'=u'+v'+w'.
  • Regra do fator constante (constante multiplicativa): a derivada de c\cdot f(x), onde c é constante, é c\cdot f'(x).
  • Derivada da exponencial natural: a derivada de e^{x} é e^{x}. Aqui e é a base do logaritmo natural, uma constante fixa (aprox. 2,718\ldots).
  • Derivada do logaritmo natural: a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, válida para x>0.
  • Derivada de constante: a derivada de uma constante (por exemplo -1) é 0.
Explicando cada fórmula rápida e amigavelmente:
  • Quando eu digo que \dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x), é porque a constante sai da operação de derivar (ela apenas escala a inclinação).
  • A razão de \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} é particular: a função exponencial cresce à mesma taxa que seu próprio valor.
  • A razão de \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} vem da definição inversa entre exponencial e logaritmo; intuitivamente, o log cresce devagar quando x aumenta e sua inclinação é justamente 1/x.

Passo 3

Derivo termo a termo usando as regras acima. Primeiro, o termo 3 e^{x}.
  • Aplicando a regra do fator constante com c=3 e f(x)=e^{x}, e sabendo que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, obtemos:
\frac{d}{dx}\bigl(3 e^{x}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=3\cdot e^{x}.

Passo 4

Agora o termo 8\ln x.
  • Aplicando a regra do fator constante com c=8 e f(x)=\ln x, e sabendo que \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (para x>0), obtemos:
\frac{d}{dx}\bigl(8\ln x\bigr)=8\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=8\cdot\frac{1}{x}=\frac{8}{x}.

Passo 5

Por fim, o termo constante -1.
  • A derivada de uma constante é zero, então
\frac{d}{dx}(-1)=0.

Passo 6

Agora somo as derivadas dos três termos (regra da linearidade):
y'=\frac{d}{dx}\bigl(3 e^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(8\ln x\bigr)+\frac{d}{dx}(-1)=3e^{x}+\frac{8}{x}+0.
Simplificando:
y'=3e^{x}+\frac{8}{x}.

Passo 7

Observação final e dica para a prova:
  • Lembre que a expressão \dfrac{8}{x} exige x\neq 0 e, como a função original tinha \ln x, o domínio relevante é x>0. Então a derivada y' vale para x>0.
  • Estratégia rápida em prova: derive termo a termo, puxe constantes para fora, use \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}. Fácil de decorar e aplicar.

Resposta

y'=3e^{x}+\dfrac{8}{x}

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