Sendo a função f(x)=\frac{3 \cos x}{1+3 \operatorname{sen} x}, determine:
a) a derivada de f.
b) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em \mathrm{x}=0.
c) a equação da reta tangente ao gráfico de f em \mathrm{x}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3\cos x}{1+3\sin x}
e pede três coisas:
  • (a) a derivada de f, isto é f'(x);
  • (b) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x=0, isto é f'(0);
  • (c) a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um quociente de duas funções trigonométricas (numerador e denominador).
  • Para derivar iremos precisar das derivadas de \cos x e \sin x e da regra do quociente.

Passo 2

Qual método usar para derivar? Aqui o jeito direto é aplicar a regra do quociente, porque f está escrita como uma razão u(x)/v(x). Vou lembrar a regra do quociente:
Se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando os símbolos:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v;
  • O resultado é o numerador u'v-uv' dividido por v^2.
Também precisamos saber as derivadas das funções trigonométricas básicas:
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.
Isto é: a derivada do seno é o cosseno; a derivada do cosseno é menos seno.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas.
Escolhemos
u(x)=3\cos x,\qquad v(x)=1+3\sin x.
Calcular u'(x) e v'(x):
  • Como u(x)=3\cos x, usando (\cos x)'=-\sin x e a constante 3:
u'(x)=3\cdot(\cos x)'=3\cdot(-\sin x)=-3\sin x.
  • Como v(x)=1+3\sin x, a derivada da constante 1 é 0 e (\sin x)'=\cos x:
v'(x)=3\cdot(\sin x)'=3\cos x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente passo a passo:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{(-3\sin x)(1+3\sin x)-(3\cos x)(3\cos x)}{(1+3\sin x)^{2}}.
Vamos desenvolver o numerador com calma. Primeiro multiplicar:
(-3\sin x)(1+3\sin x)=-3\sin x-9\sin^{2}x,
e
(3\cos x)(3\cos x)=9\cos^{2}x.
Assim o numerador fica
-3\sin x-9\sin^{2}x-9\cos^{2}x.

Passo 5

Simplificar o numerador usando a identidade trigonométrica
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Observe que temos -9\sin^{2}x-9\cos^{2}x=-9(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=-9\cdot1=-9.
Portanto o numerador simplifica para
-3\sin x-9.
Escrevendo o resultado final da derivada:
f'(x)=\frac{-3\sin x-9}{(1+3\sin x)^{2}}.
Podemos também fatorar -3 no numerador para uma forma mais compacta:
f'(x)=-3\cdot\frac{\sin x+3}{(1+3\sin x)^{2}} \quad\text{o que é equivalente a}\quad f'(x)=-3\,\frac{3+\sin x}{(1+3\sin x)^{2}}.é

Passo 6

Calcular o coeficiente angular da reta tangente em x=0, que é f'(0).
Substituir x=0 em f'(x). Lembrar que \sin 0=0.
Usando a forma simples:
f'(0)=\frac{-3\sin 0-9}{(1+3\sin 0)^{2}}=\frac{-3\cdot0-9}{(1+3\cdot0)^{2}}=\frac{-9}{1^{2}}=-9.

Passo 7

Encontrar a equação da reta tangente em x=0.
A equação da reta tangente no ponto x_{0} pode ser escrita no formato ponto-ângulo:
y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).
Aqui x_{0}=0. Precisamos então de f(0) e já temos f'(0)=-9.
Calcular f(0):
f(0)=\frac{3\cos 0}{1+3\sin 0}=\frac{3\cdot1}{1+3\cdot0}=\frac{3}{1}=3.
Substituindo em y=f(0)+f'(0)(x-0):
y=3+(-9)(x)=3-9x.
Podemos reescrever na forma usual y=-9x+3 ou deixar y=3-9x.

Resposta

(a) f'(x)=\frac{-3\sin x-9}{(1+3\sin x)^{2}}=-3\,\frac{3+\sin x}{(1+3\sin x)^{2}}
(b) f'(0)=-9
(c) y=3-9x

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