Sendo a função
, determine:
a) a derivada de
.
b) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
.
c) a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
a) a derivada de
b) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
c) a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) a derivada de
, isto é ; - (b) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em , isto é ; - (c) a equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um quociente de duas funções trigonométricas (numerador e denominador).
- Para derivar iremos precisar das derivadas de
e e da regra do quociente.
Passo 2
Qual método usar para derivar? Aqui o jeito direto é aplicar a regra do quociente, porque
está escrita como uma razão
. Vou lembrar a regra do quociente:
Se
e
são diferenciáveis e
, então
Explicando os símbolos:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador; -
e são as derivadas de e ; - O resultado é o numerador
dividido por .
Também precisamos saber as derivadas das funções trigonométricas básicas:
Isto é: a derivada do seno é o cosseno; a derivada do cosseno é menos seno.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas.
Escolhemos
Escolhemos
Calcular
e
:
- Como
, usando e a constante :
- Como
, a derivada da constante é e :
Passo 4
Aplicar a regra do quociente passo a passo:
Substituindo
:
Vamos desenvolver o numerador com calma. Primeiro multiplicar:
e
Assim o numerador fica
Passo 5
Simplificar o numerador usando a identidade trigonométrica
Observe que temos
.
Portanto o numerador simplifica para
Portanto o numerador simplifica para
Escrevendo o resultado final da derivada:
Podemos também fatorar
no numerador para uma forma mais compacta:
Passo 6
Calcular o coeficiente angular da reta tangente em
, que é
.
Substituir em
. Lembrar que
.
Usando a forma simples:
Substituir
Usando a forma simples:
Passo 7
Encontrar a equação da reta tangente em
.
A equação da reta tangente no ponto pode ser escrita no formato ponto-ângulo:
A equação da reta tangente no ponto
Aqui
. Precisamos então de
e já temos
.
Calcular
:
Substituindo em
:
Podemos reescrever na forma usual
ou deixar
.
Resposta
(a)
(b)
(c)