Determine a derivada das seguintes potências
f(x)=x(x^2+1)^-12.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x,(x^2+1)^-tfrac12
e pede f'(x). Vamos usar a regra do produto para derivar x vezes (x^2+1)^-1/2 e, na derivada desta última, aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
u(x)=x, v(x)=(x^2+1)^-tfrac12
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=1,
e, pela regra da cadeia,
v'(x)=-tfrac12(x^2+1)^-tfrac32cdot 2x =-,x,(x^2+1)^-tfrac32

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =(x^2+1)^-tfrac12 + xl(-x,(x^2+1)^-tfrac32r) =(x^2+1)^-tfrac12-x^2(x^2+1)^-tfrac32
Fatorando (x^2+1)^-tfrac32 em evidência:
f'(x) =x^2+1 - x^2(x^2+1)^tfrac32 =1(x^2+1)^tfrac32

Resposta

f'(x)=1(x^2+1)^tfrac32

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