Exercício 7 - Verifique se cada uma das funções abaixo é uma solução da equação ut t=4 ux x.
u(x, t)=t4 t^2-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,t)=t4t^2 - x^2 satisfaz a equação da onda utt = 4,uxx. Vamos usar cálculo de derivadas parciais: precisamos de ut, utt, ux e uxx.

Passo 2

Calcular ut e utt: Defina D = 4t^2 - x^2. Então
u(x,t)=tDimplies ut = 1cdot D - tcdot(8t)D^2 = 4t^2 - x^2 - 8t^2D^2 = -4t^2 - x^2D^2

Passo 3

Agora derive ut = ND^2 com N = -4t^2 - x^2. Temos Nt = -8t e Dt = 8t, logo
utt = Nt,D^2 - N,2D,DtD^4 = -8tD^2 - 16tNDD^4 = -8t( D +2N)D^3

Passo 4

Como
D + 2N = (4t^2 - x^2) + 2(-4t^2 - x^2) = -4t^2 - 3x^2,segue
utt = -8t-4t^2 - 3x^2D^3 = 32t^3 + 24t x^2D^3

Passo 5

Calcular ux e uxx:
ux = 0cdot D - tcdot(-2x)D^2 = 2txD^2

Passo 6

Derivando de novo em x, com Dx = -2x:
uxx = 2tddxl(xD^-2r) = 2tl(D^-2 + x(-2)D^-3(-2x)r) = 2tD + 4x^2D^3 = 8t^3 + 6t x^2D^3

Passo 7

Comparar utt e 4uxx:
4uxx = 48t^3 + 6t x^2D^3 = 32t^3 + 24t x^2D^3 = utt

Passo 8

Logo, utt = 4uxx, ou seja, a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

A função u(x,t)=dfract4t^2 - x^2 é solução de utt = 4,uxx.

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