Suponha que f e g são funções deriváveis onde f(2)=8, g(2)=2, f^prime(2)=13 e g^prime(2)=-3. Calcule as derivadas em x=2 das seguintes funções
1g^2(x).

Passo 1

O enunciado dá funções deriváveis com os valores em x=2: f(2)=8, g(2)=2, f'(2)=tfrac13 e g'(2)=-3. Precisamos calcular a derivada em x=2 da função h(x)=1g(x)^2, usando a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma de potência e lembramos da regra da potência para funções compostas:
h(x)=(g(x))^-2
Se h(x)=(u(x))^n, então pela regra da potência composta temos:
h'(x)=n,(u(x))^n-1,u'(x)

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função, com u(x)=g(x) e n=-2:
h'(x)=-2,(g(x))^-3cdot g'(x)

Passo 4

Agora substituímos x=2 e usamos g(2)=2 e g'(2)=-3:
h'(2)=-2cdot 2^-3cdot(-3)=-2cdot18cdot(-3)=68=34

Resposta

tfrac34

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