Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo aqui é diferenciação parcial, usando regra da cadeia e, quando necessário, produto.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem por regra da cadeia:

Passo 3

Agora as derivadas puras de segunda ordem:

Passo 4

Em seguida as derivadas mistas de segunda ordem. Usando que a parte em é independente de :
Pela igualdade das mistas (teorema de Clairaut), , e o mesmo vale entre e ou .

Resposta

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