Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo aqui é diferenciação parcial, usando regra da cadeia e, quando necessário, produto.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem por regra da cadeia:
Passo 3
Agora as derivadas puras de segunda ordem:
Passo 4
Em seguida as derivadas mistas de segunda ordem. Usando que a parte em
é independente de
:
Pela igualdade das mistas (teorema de Clairaut),
, e o mesmo vale entre
e
ou
.