Determine a derivada das seguintes potências
f(x)=x raizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=xraizx^2+1. O conteúdo principal envolvido é a regra do produto (para u(x)cdot v(x)) e a regra da cadeia (para derivar raizx^2+1).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a raiz como potência:
f(x)=x,(x^2+1)^1/2

Passo 3

Definimos
u(x)=x, v(x)=(x^2+1)^1/2
Então
u'(x)=1
e, aplicando a regra da cadeia em v(x), temos
v'(x)=tfrac12,(x^2+1)^-1/2cdot 2x = x,(x^2+1)^-1/2

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =(x^2+1)^1/2+xcdot x,(x^2+1)^-1/2

Passo 5

Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador (x^2+1)^1/2:
f'(x) =x^2+1(x^2+1)^1/2 +x^2(x^2+1)^1/2 =(x^2+1)+x^2(x^2+1)^1/2 =2x^2+1raizx^2+1

Resposta

f'(x)=2x^2+1raizx^2+1

Exercícios relacionados